Question

已知二次函数f（x）=ax2+（2b+1）x-a（a，b∈R，a≠0）（1）当a=b时，f（x）在[a2，a]上有最小值3a4，求

已知二次函数f（x）=ax2+（2b+1）x-a（a，b∈R，a≠0）（1）当a=b时，f（x）在[a2，a]上有最小值3a4，求实数a的值；（2）若f（x）-2在区间[1，2]上至少有一个零点，求a2+b2的最小值．

Answer 1

（1）∵区间[

a

2

，a]中

a

2

＜a，故a＞0，
当a=b时，f（x）=ax²+（2a+1）x-a的图象开口向上，对称轴为直线x=?

2a+1

2a

，
∵?

2a+1

2a

＜0＜

a

2

＜a，
故f（x）在[

a

2

，a]上为增函数，
当x=

a

2

时，函数有最小值

3a

4

，
即f（

a

2

）=

a3

4

+a2?

a

2

=

3a

4

，
即a（a+5）（a-1）=0，
∵a＞0，
∴a=1．
（2）令ax²+（2b+1）x-a=（x²-1）a+2xb+x=0，将其看成为平面直角坐标系a-O-b中的一条直线，
由于直线上一点（a，b）到原点的距离大于等于原点到直线的距离，
即

a2+b2

≥

|x?2|

(x2?1)2+(2x)2

=

|x?2|

(x2+1)2

=

|x?2|

|x2+1|

，
令g