Question

高数，为什么这个用渐进线公式的时候要考虑左右极限？

Answer 1

1)当x->+∞时，y=√((x-2)^2+8) +x->+∞, 曲线y可能有斜渐近线;
设斜渐近线方程为y=kx+b, 则
k=lim(x->+∞)(y/x)=lim(x->+∞)(√((x^2-4x+12)/x^2) +1)=lim(x->+∞)(x->+∞)(√(1-4/x+12/x^2) +1)=√(1+0+0)+1=2
b=lim(x->+∞)(y-kx)=lim(x->+∞)(√(x^2-4x+12) -x)
式中分子有理化 √(x^2-4x+12) -x=((x^2-4x+12) -x^2)/(√(x^2-4x+12)+x)
=12/(√(x^2-4x+12) +x)-4/(√(1-4/x+12/x^2)) +1)
∴b=lim(x->+∞)(12/(√(x^2-4x+12) +x)-lim(x->+∞)(4/(√(1-4/x+12/x^2) +1))
=0-2=-2
∴斜渐近线方程为y=2x-2

2)当x->-∞时，分子有理化
y=((x^2-4x+12)-x^2)/(√(x^2-4x+12) -x)=12/(√(x^2-4x+12) -x)-4x/(√(x^2-4x+12) -x)
=12/(√(x^2-4x+12) -x)+4/(√((x^2-4x+12)/x^2) +1)
=12/(√(x^2-4x+12) -x)+4/(√(1-4/x+12/x^2) +1)
上式中 当x->-∞时, 12/(√(x^2-4x+12) -x) ->0
4/(√(1-4/x+12/x^2) +1)->4/(√(1+0+0)+1)=2
∴ 当x->-∞时，y->2, 曲线只有水平渐近线, 无斜渐近线。

Answer 2

∵lim[x-->+∞]y=+∞
lim[x-->-∞]y=2
∴ 只有x-->+∞才可能有斜渐近线
lim[x-->+∞][(x^2-4*x+12)^(1/2)+x]/x
=lim[x-->+∞][(1-4/x+12/x^2)^(1/2)+1]
=2
lim[x-->+∞][(x^2-4*x+12)^(1/2)+x-2x]
=lim[x-->+∞][(x^2-4*x+12)^(1/2)-x]
=-2
∴ 斜渐近线方程： y=2x-2

Answer 3

2倍根号2加x