Question

证明:e小于（1+1/n)的n+1次，有无好的证明方法

如题，最好是大一学生能接受的解法

Answer 1

如下方法不保证非常严谨,仅供参考:
因为Lim（1+1/n)^(n+1)=e
所以只要证明（1+1/n)^(n+1)递减即可
考查函数y=（1+1/x)^(x+1)
取对数求导得:
Y'/Y=-1/x+ln(1+1/x)
由于y>0
设f(x)=Y'/Y=-1/x+ln(1+1/x)
f'(x)=1/x^2+1/(X+1)-1/X=1/X^2(X+1)>0
所以F(X)单调增 所以F(X)<F(X0)=0 (X0-->正无穷)
所以Y'<0
所以Y单调减(X>0) 所以对于N （1+1/n)^(n+1)递减
所以e<（1+1/n)^(n+1)

Answer 2

单调有界数列的极限为它的上下确界中的一个，根据确界的定义可以证得。

Answer 3

因为Lim（1+1/n)^(n+1)=e
所以只要证明（1+1/n)^(n+1)递减即可
考查函数y=（1+1/x)^(x+1)
取对数求导得:
Y'/Y=-1/x+ln(1+1/x)
由于y>0
设f(x)=Y'/Y=-1/x+ln(1+1/x)
f'(x)=1/x^2+1/(X+1)-1/X=1/X^2(X+1)>0
所以F(X)单调增 所以F(X)<F(X0)=0 (X0-->正无穷)
所以Y'<0
所以Y单调减(X>0) 所以对于N （1+1/n)^(n+1)递减
所以e<（1+1/n)^(n+1)