Question

如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,边AB的垂直平分线角BC于点D,垂足为E,AD平分∠BAC.

（1）求∠B的度数。

（2）求证：CD=1/3·BC
（3）若AC=2，点P时直线AD上的动点，求|PB-PC|的最大值

Answer 1

（1）AB的垂直平分线交BC于点D，
∴AD=BD,
∴∠DAB=∠B,
AD平分∠BAC,
∴∠BAC=2∠DAB=2∠B,
∠C=90°，
∴∠B=90°*1/3=30°.
（2）由(1),∠CAD=30°，易知
CD=AD/2=BD/2=BC/3.
(3)易知PC=PE,
∴|PB-PC|=|PB-PE|≤BE(当P,E,B三点共线时取等号),
BE=AE=AC=2,
∴|PB-PC|的最大值是2.

Answer 2

DE平分AB
所以AE=BE
∠DAE=∠DBE
∠ADE=∠BDE
AD平分∠CAE
所以∠CAD=∠EAD
∠ACD=∠AED=90°
所以∠ADC=∠ADE=∠BDE=60°

(1)所以∠B=180-90-60=30度

根据勾股定理，BD=AD=2CD
所以CB=CD+BD=CD+2CD=3CD

(2)CD=1/3CB