Question

求双纽线r^2=a^2cos2θ在θ=0处的曲率及曲率半径

Answer 1

不妨设a>0。
r=a√(cos 2θ)，r'=-(2asin 2θ)/(2√(cos 2θ))=-(asin 2θ)/√(cos 2θ)，
r''=-a(2(cos 2θ)√(cos 2θ)+(sin^2 2θ)/(√(cos 2θ)))/cos 2θ
=-a(2cos^2 2θ+sin^2 2θ)/cos^(3/2) 2θ
因此r'(0)=0，r''(0)=-2a。代入极坐标下的曲率公式得（见http://wenku.baidu.com/link?url=APKVOf-dfCk9QM9i3X-Kmdtzjs-a9k2PdmpGBxYa4g_W7H40ewLLNpzSF4FgDpOBjyXCZ5NSXOAM7Husp2wZwwwoWmaXXStwIxEZGA_LgQu）
曲率为3/a，曲率半径为a/3。