设随机变量X与Y相互独立，且分别服从二项分布B（n,p）
X，Y是相互独立的随机变量，都服从参数为n，p的二项分布求证：Z＝X＋Y服从参数为2n，p的二项分布。
由于X，Y都服从参数为n，p的二项分布，P（X＝i）＝C（n，i）p＾i（1－p）＾（n－i），P（Y＝i）＝C（n，i）p＾i（1－p）＾（n－i）。
设Z＝X＋Y，由于X，Y是相互独立，因此
P（Z＝k）＝P（X＋Y＝k）＝∑（i＝0，k）P（X＝i，Y＝k－i）＝∑（i＝0，k）P（X＝i）P（Y＝k－i）
＝∑（i＝0，k）C（n，i）p＾i（1－p）＾（n－i）C（n，k－i）p＾（k－i）（1－p）＾（n－k＋i）
＝∑（i＝0，k）C（n，i）C（n，k－i））p＾k（1－p）＾（2n－k）
＝C（2n，k）p＾k（1－p）＾（2n－k）
故Z＝X＋Y服从参数为2n，p的二项分布。
扩展资料
二项分布的应用条件：
1、各观察单位只能具有相互对立的一种结果，如阳性或阴性，生存或死亡等，属于两分类资料。
2、已知发生某一结果（阳性）的概率为π，其对立结果的概率为1－π，实际工作中要求π是从大量观察中获得比较稳定的数值。
3、n次试验在相同条件下进行，且各个观察单位的观察结果相互独立，即每个观察单位的观察结果不会影响到其他观察单位的结果。如要求疾病无传染性、无家族性等。
其实是组合计算的问题，令Z=X+Y，
P(Z=t)=∑(i=0~t)C(n,i)p^i*C(m,t-i)p^(t-i)=p^tC(n+m,t)
其中b＞a时，C(a,b)=0
结果用二项式定力很容易证明，也是组合运算的一个基本定理
表示出Z的分布列，可以看出Z~B(m+n,p)
其实是组合计算的问题，令Z=X+Y， P(Z=t)=∑(i=0~t)C(n,i)p^i*C(m,t-i)p^(t-i)=p^tC(n+m,t) 其中b＞a时，C(a,b)=0 结果用二项式定力很容易证明，也是组合运算的一个基本定理表示出Z的分布列，可以看出Z~B(m+n,p)。
扩展资料：
线性代数中的向量独立（线性无关），即两个向量不成比例，不可互相表示，没有多余。
联系：生活中的独立，独立的人，即人的独一无二，不可被替代；模块独立：即各个模块之间功能独立，（功能不重复，且不能互相的替代）等等。
要有两随机事件 A、B 。 A、B 发生的概率分别为 P(A) 和 P(B) ， AB 事件同时发生的概率为 P(AB) 若 P(A)×P(B)=P(AB) ，则 A 与 B 相互独立。事件 A 发生的概率不影响事件 B 发生的概率，反应的是概率运算上的关系。
参考资料来源：百度百科-独立
P(Z=t)=∑(i=0~t)C(n,i)p^i*C(m,t-i)p^(t-i)=p^tC(n+m,t)
其中b＞a时，C(a,b)=0
结果用二项式定力很容易证明，也是组合运算的一个基本定理
表示出Z的分布列，可以看出Z~B(m+n,p)
简单计算一下即可，答案如图所示
