高数 利用第二类换元法求不定积分1
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定义域为{x|x>1或x<-1}
当x>1时,设x=sect(0<t<π/2),则
dx=secttantdt,√(x²-1)=tant
原式=∫secttantdt/secttant=∫dt=t+C
∵x=sect=1/cost,∴cost=1/x,t=arccosx
∴原式=arccosx+C
当x<-1时,设x=-u,则u>1,dx=-du
原式=∫-du/[-u*√(u²-1)]=∫du/u√(u²-1)=arccosu+C=arccos(-x)+C
综合得原式=arccos|x|+C
当x>1时,设x=sect(0<t<π/2),则
dx=secttantdt,√(x²-1)=tant
原式=∫secttantdt/secttant=∫dt=t+C
∵x=sect=1/cost,∴cost=1/x,t=arccosx
∴原式=arccosx+C
当x<-1时,设x=-u,则u>1,dx=-du
原式=∫-du/[-u*√(u²-1)]=∫du/u√(u²-1)=arccosu+C=arccos(-x)+C
综合得原式=arccos|x|+C
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