为什么直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
因为这是直角三角形的一种属性，是可以证明的。
证法
设三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，中线为d。
∵a²+b²=c²，且d为斜边的中线，
∴对同一个角B，可得：
cosB=（a²+c²-b²）/2ac=（a²+1/4c²-d²）/ac
化简后为：a²-1/2c²+b²=2d²
∵a²+b²=c²，∴代入后可得：1/2c²=2d²，
d1=1/2c，d2=-1/2c（不合题意，舍去）
∴d=1/2c，命题得证。
扩展资料：
其逆命题：如果一个三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，且这条边为直角三角形的斜边。
逆命题是正确的。以该条边的中点为圆心，以中线长为半径作圆，则该边成为圆的直径，该三角形的另一个顶点在圆上，该顶角为圆周角。因为直径上的圆周角是直角，所以逆命题1成立。
参考资料来源：百度百科-直角三角形斜边中线定理
参考资料来源：百度百科-三角形中线
直角三角形斜边中线定理
如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
ΔABC是直角三角形，作AB的垂直平分线n交BC于D
∴ AD=BD（线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等）
以DB为半径，D为圆心画弧，与BC在D的另一侧交于C'
∴DC’=AD=BD∴∠BAD=∠ABD ∠C’AD=∠AC’D （等边对等角）
又∵∠BAD+∠ABD+∠C’AD+∠AC’D =180°（三角形内角和定理）
∴∠BAD+∠C’AD=90° 即：∠BAC’=90°
又∵∠BAC=90°
∴∠BAC=∠BAC’
∴C与C’重合（也可用垂直公理证明 ：假使C与C’不重合 由于CA⊥AB，C’A⊥AB 故过A有CA、C’A两条直线与AB垂直 这就与垂直公理矛盾 ∴假设不成立 ∴C与C’重合）
∴DC=AD=BD∴AD是BC上的中线且AD=BC/2这就是直角三角形斜边上的中线定理
设在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC的中线，求证：AD=1/2BC。
【证法1】
延长AD到E，使DE=AD，连接CE。
∵AD是斜边BC的中线，
∴BD=CD，
又∵∠ADB=∠EDC（对顶角相等），
AD=DE，
∴△ADB≌△EDC（SAS），
∴AB=CE，∠B=∠DCE，
∴AB//CE（内错角相等，两直线平行）
∴∠BAC+∠ACE=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠BAC=90°，
∴∠ACE=90°，
∵AB=CE，∠BAC=ECA=90°，AC=CA，
∴△ABC≌△CEA（SAS）
∴BC=AE，
∵AD=DE=1/2AE，
∴AD=1/2BC。
【证法2】
取AC的中点E，连接DE。
∵AD是斜边BC的中线，
∴BD=CD=1/2BC，
∵E是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//AB（三角形的中位线平行于底边）
∴∠DEC=∠BAC=90°（两直线平行，同位角相等）
∴DE垂直平分AC，
∴AD=CD=1/2BC（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
【证法3】
延长AD到E，使DE=AD，连接BE、CE。
∵AD是斜边BC的中线，
∴BD=CD，
又∵AD=DE，
∴四边形ABEC是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
∵∠BAC=90°，
∴四边形ABEC是矩形（有一个角是90°的平行四边形是矩形），
∴AE=BC（矩形对角线相等），
∵AD=DE=1/2AE，
∴AD=1/2BC。
2021-04-02 · 百度认证:广东世纪晓教育科技有限公司苏州分公司
星火教育江苏
这是直角三角形斜边中线定理，可以证明出来的。
如图为直角三角形ABC
可以利用矩形的性质来证明，证明过程如下：
延长AD到E,使DE=AD,连接BE,CE
∵BD=CD，∠BAC=90°
∴四边形ABEC是矩形
矩形的对角线相等且互相平分
∴BC=AE=2AD
