Question

高中数学数列压轴题，求第三小题，急！

Answer 1

(3)

a=2

a(n+1)= -2/an +2 +1=3  -2/an=(3an-2)/an

a(n+1)-1=(3an-2-an)/an=(2an-2)/an=2(an-1)/an

a(n+1)-2=(3an-2-2an)/an=(an-2)/an

[a(n+1)-1]/[a(n+1)-2]=2a(n-1)/(an-2)

[a(n+1)-1]/[a(n+1)-2] / a(n-1)/(an-2)=2，为定值

(a1-1)/(a1-2)=(3-1)/(3-2)=2

数列{(an-1)/(an-2)}是以2为首项，2为公比的等比数列

(an-1)/(an-2)=2·2ⁿ⁻¹=2ⁿ

an=(2ⁿ⁺¹-1)/(2ⁿ-1)

n=1时，a1=(2²-1)/(2-1)=3，同样满足表达式

数列{an}的通项公式为an=(2ⁿ⁺¹-1)/(2ⁿ-1)

dn=(2an-4)/(5an-7)

=[2(2ⁿ⁺¹-1)/(2ⁿ-1) -4]/[5(2ⁿ⁺¹-1)/(2ⁿ-1) -7]

=[2(2ⁿ⁺¹-1) -4(2ⁿ-1)]/[5(2ⁿ⁺¹-1) -7(2ⁿ-1)]

=2/(3·2ⁿ+2)

2ⁿ恒>0，2/(3·2ⁿ+2)恒>0，dn>0

d1=2/(3·2+2)=¼

d(n+1)/dn=[2/(3·2ⁿ⁺¹-2)]/[2/(3·2ⁿ+2)]

=(3·2ⁿ-2)/(3·2ⁿ⁺¹-2)

=½(3·2ⁿ⁺¹-4)/(3·2ⁿ⁺¹-2)

=½(3·2ⁿ⁺¹-2-2)/(3·2ⁿ⁺¹-2)

=½([1- 2/((3·2ⁿ⁺¹-2)]

=½ - 1/(3·2ⁿ⁺¹-2)

<½

Tn=d1+d2+...+dn

<¼+¼·½+...+¼·½ⁿ⁻¹

=¼·(1-½ⁿ)/(1-½)

=½·(1-½ⁿ)

=½-½ⁿ⁺¹

<½

<4/7

不等式成立。

Answer 2

可以把求出的一些已知条件写一下吗
比如an通项之类

追问

就是用第二小题的结论

追答

第一问a是几？
构造新数列Mn = an - 1你先照这个思路试试，我继续做

构造新数列M[n] = a[n] - 1
大题干中的条件化为2M[n] = M[n]*M[n+1] + M[n+1]
等式两边同除以M[n]*M[n+1]