求解微积分微分方程一题 10
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求微分方程 (x+y)y'+(x-y)=0的通解
解：两边同除以x得[1+(y/x)]y'+[1-(y/x)]=0.............(1)
令y/x=u，则y=ux，dy=(u+xu')dx；dy/dx=u+xu';
代入(1)式得 (1+u)(u+xu')+(1-u)=0
u+xu'=(u-1)/(u+1)
xu'=(u-1)/(u+1)-u=-(u²+1)/(u+1)
分离变量得 (u+1)du/(u²+1)=-(1/x)dx
积分之，∫(u+1)du/(u²+1)=∫udu/(u²+1)+∫du/(u²+1)
=(1/2)∫d(u²+1)/(u²+1)+∫du/(u²+1)=(1/2)ln(u²+1)+arctanu=-lnx
将u=y/x代入，即得原方程的隐性通解为：ln√[(y/x)²+1]+arctan(y/x)=-lnx；
解：两边同除以x得[1+(y/x)]y'+[1-(y/x)]=0.............(1)
令y/x=u，则y=ux，dy=(u+xu')dx；dy/dx=u+xu';
代入(1)式得 (1+u)(u+xu')+(1-u)=0
u+xu'=(u-1)/(u+1)
xu'=(u-1)/(u+1)-u=-(u²+1)/(u+1)
分离变量得 (u+1)du/(u²+1)=-(1/x)dx
积分之，∫(u+1)du/(u²+1)=∫udu/(u²+1)+∫du/(u²+1)
=(1/2)∫d(u²+1)/(u²+1)+∫du/(u²+1)=(1/2)ln(u²+1)+arctanu=-lnx
将u=y/x代入，即得原方程的隐性通解为：ln√[(y/x)²+1]+arctan(y/x)=-lnx；
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