an=2,a(n+1)=1/2(an+1/an),求证数列极限存在
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易证an>0,即0是一个下界
a1=2>1①
假设ak>1,那么ak+1=1/2*(ak+1/ak)≥1/2*2√(ak*1/ak)=1,当且仅当ak=1/ak时取等号,即ak=1时,这和ak>1矛盾
∴上述不等式取不到等号,即从ak>1可推出ak+1>1②
综合①②得an>1
an+1-an=1/2*(an+1/an)-an=1/2*(-an+1/an)=(1-an²)/2an<0
即{an}递减
∴{an}为单调递减数列,有极限
a1=2>1①
假设ak>1,那么ak+1=1/2*(ak+1/ak)≥1/2*2√(ak*1/ak)=1,当且仅当ak=1/ak时取等号,即ak=1时,这和ak>1矛盾
∴上述不等式取不到等号,即从ak>1可推出ak+1>1②
综合①②得an>1
an+1-an=1/2*(an+1/an)-an=1/2*(-an+1/an)=(1-an²)/2an<0
即{an}递减
∴{an}为单调递减数列,有极限
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