Question

设a1=0，an+1＝12(an+1an)（n=1，2，…），证明：（1）limx→∞an存在．（2）级数∞n＝1(anan+1?1)收敛

设a1=0，an+1＝12(an+1an)（n=1，2，…），证明：（1）limx→∞an存在．（2）级数∞n＝1(anan+1?1)收敛．

Answer 1

（1）因为an+1?an＝

1

2

(an+

1

an

)?an=

1?an2

2an

，
而 an+1＝

1

2

(an+

1

an

)≥

an? 1 an

=1
于是a_n+1-a_n≤0，故数列{a_n}单调递减且有下界，所以

lim

n→∞

an存在．
故得证．
（2）令bn＝

an

an+1

?1，利用递推公式，有
ρ＝

lim

n→∞

bn+1

bn

=

lim

n→∞

1

4

an2+1

an+12+1

?

an2?1

an2

=0＜1，
由比值判别法知，级数

∞

n＝1

(

an

an+1

?1)也收敛．
故得证．