Question

求个积分题目

第一个题目∫r^3(1+r^2)^1/2dr
第二个题目是:计算曲面积分∫∫z^2dS,其中曲面是柱面x^2+y^2=4介于z=0,z=3之间的部分

Answer 1

1. r^3×√(1＋r^2)dr＝1/2×r^2×√(1＋r^2)d(1＋r^2)

设t＝√(1＋r^2)，则1＋r^2＝t^2，r^2＝t^2－1，所以

∫r^3×√(1＋r^2)dr
＝1/2×∫(t^2－1)×t×d(t^2)
＝1/2×∫(t^2－1)×t×2tdt
＝∫(t^4－t^2)dt
＝1/5×t^5－1/3×t^3＋C
＝1/5×√(1＋r^2)^5－1/3×√(1＋r^2)^3＋C
＝1/15×√(1＋r^2)^3×(3r^2－2)＋C

2.
曲面向yz面投影，把曲面分为前后两部分：
S1：x＝√(4－y^2)
S2：x＝－√(4－y^2)

S1与S2在yz面上的投影都是矩形区域：0≤z≤3，－2≤y≤2

dS＝2/√(4－y^2)dydz

所以，
∫∫z^2 dS
＝2∫∫z^2×2/√(4－y^2) dydz
＝4∫0～3 z^2 dz ∫`－2～2 1/√(4－y^2) dy
＝4×9×π＝36π