Question

设函数f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+2n)，则f'(-n)=? 求解答

Answer 1

f(x)=x(x+1)(x+2)....(x+n-1)(x+n)(x+n+1)(x+n+2).....(x+2n)
求f'(-n)不能用对数求导法。

用积的求导法，只保留对(x+n)求导时的那一轮。因为其它轮次的导数里都含有因子
(x+n)，而(-n+n)=0.
即 f'(-n)=-n(-n+1)(-n+2)......(-n+n-1)(1•2•3•.......•n)=[(-1)^n](n!)².
比如：
f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)
取n=3，2n=6;
f'(x)只保留对(x+3)取导时的那一轮，其它的f'(-3)都是0.
即f'(-3)=-3•(-2)•(-1)•(1)•(2)•(3)=(-1)³(3!)²=-36.

Answer 2

f(x) =x(x+1)(x+2)...(x+2n)
f'(x) =(x+1)(x+2)...(x+2n)+x(x+2)...(x+2n)+x(x+1)(x+3)...(x+2n)+...
+x(x+1)(x+2)...(x+2n-1)
f'(-n)=-n(-n+1)(-n+2)....(-n+n-1)(-n+n+1)....(-n+2n)
= (-1)^n . (n!)^2