Question

函数有原函数与是否可积分有什么联系和区别？

Answer 1

首先函数有原函数，是指有一个函数的导数等于这个函数，即存在一个可导函数，其导函数等于目标函数。
而函数可积指的是如果f(x)在[a,b]上的定积分存在，我们就说f(x)在[a,b]上可积。即f(x)是[a,b]上的可积函数。这里已经可以看出区别了，可积函数是要看它的区间的，它必须满足条件：
1.[a,b]上的连续函数；
2.在[a,b]上有界，且只有有限个间断点；
3.在[a,b]上单调。
而函数有原函数你只要找到一个原函数使得它的导数等于目标函数即可。
另外可积不一定存在原函数 ,原函数存在不一定可积：
这是摘自百度知道优质回答的证明：
1.Riemann可积不一定存在原函数.
f(x)存在原函数,即存在可导函数F(x),使f(x) = F'(x)对定义域内的任意x成立.
可以用Lagrange中值定理证明:
若F(x)在一个区间上处处可导,则导函数F'(x)在该区间内没有第一类间断点.
基于如上观察,可以构造如下例子:
取f(x) = 0,当0 ≤ x < 1/2,取f(x) = 1,当1/2 ≤ x ≤ 1.
f(x)在[0,1]上有界,且只有一个间断点x = 1/2,因此f(x)在[0,1]是Riemann可积的.
但是x = 1/2是f(x)的第一类间断点,因此f(x)在[0,1]没有原函数.
如果取F(x) = ∫{0,x} f(t)dt,会发现F(x)在x = 1/2处是不可导的,f(x) = F'(x)在该点不成立.
2.原函数存在不一定Riemann可积.
在闭区间[a,b]上Riemann可积需要两个方面的条件:有界性和连续性(不连续点是零测集).
从前者入手比较容易:
在x ≠ 0处,取F(x) = x^(4/3)·sin(1/x),则F'(x) = -cos(1/x)/x^(2/3)+4x^(1/3)·sin(1/x)/3.
在x = 0处,取F(0) = 0,则F'(0) = lim{x → 0} F(x)/x = lim{x → 0} x^(1/3)·sin(1/x) = 0.
F(x)处处可导.且对任意正整数k,F'(1/(2kπ)) = -(2kπ)^(2/3),因此F'(x)在0的任意邻域内无界.
于是f(x) = F'(x)在[-1,1]上存在原函数,但不是Riemann可积的(因为不是有界的).
实际上,存在F(x)在R上处处可导,导数有界,但导数不是Riemann可积的(导数的不连续点不零测).

Answer 2

存在原函数不一定可积

Answer 3

张宇十八讲告诉我们，其无关