Question

怎么求一个点关于一次函数对称点的坐标

Answer 1

怎么求一个点关于一次函数对称点的坐标
来个一般性的问题，求P（x0,y0）关于直线l:Ax+By+C=0的对称点。（这是直线的一般方程，比一次函数范围更广）
解法有多种。 简单介绍两种。
法一：因为是对称点。设对称点为P’，有PP’垂直平分直线l。
先解决垂直，则设PP’所在直线为l'=Bx-Ay+C'（垂直的充要条件是斜率乘积为-1，这是它的推广形式。由向量得来）
因为P在l'上。带入，解出C，这l'唯一确定。
联立l和l'方程，得到一个二元一次方程，解出。则为两条直线的交点Q。
由中点公式x=x1+x2/2 y=y1+y2/2
因为垂直平分，所以Q必定为PP'中点。由中点公式可以解除P’坐标。此题完成。
法二：设直线l'=Bx-Ay+C' 因为P在l'上，所以带入
则C=Ay0-Bx0 所以l'=Bx-Ay+Ay0-Bx0
设p’（x1,y1）。
由于垂直平分，所以p到l的距离等于p’到l的距离。
点到直线的距离公式为|Ax0+By0+C|/√A²+B²
由于p’在直线上，代入。得到第二个方程。两个方程两个未知数，可以解出p’坐标。
如果有看不懂的，不用着急。你们高二才学。

Answer 2

① 首先需要了解一下什么是点和一次函数及其对称性。点是平面直角坐标系上的基本元素，由横坐标和纵坐标组成。一次函数是指形如y = kx + b的函数，其中k、b是常数，x是自变量，y是因变量。而对称性则是指平面中的图形在某个轴或点上对于镜面对称后保持不变的特性。

② 在求一个点关于一次函数对称点的坐标时，需要利用到一次函数的对称性。具体步骤如下：首先求出该点关于一次函数图像的对称点，然后再根据对称点的横坐标和纵坐标求出该对称点的坐标。对称点的坐标求解步骤如下：

1. 设该点的横坐标为x1，纵坐标为y1，一次函数为y = kx + b。
2. 计算一次函数在其上方向距离该点垂线的交点坐标(x1, kx1 + b)，该点为对称点。
3. 计算对称点的纵坐标：对称点的纵坐标为2×(kx1 + b) - y1。
4. 对称点的横坐标与原点坐标相等，因此对称点的横坐标也为x1，即对称点的坐标为(x1, 2×(kx1 + b) - y1)。

③ 下面以一个具体的例题来讲解如何求一个点关于一次函数对称点的坐标：

已知一点P(2, 5)，一次函数为y = -2x + 3，请求点P关于一次函数对称点的坐标。

解：首先，过点P(2, 5)作一次函数y = -2x + 3的垂线，垂线和一次函数图像的交点为A。根据垂线的特性可知，一次函数在A点的斜率为垂线的负倒数。因此，垂线在一次函数上的交点坐标为(x, -2×x + 7)，即对称点A(2, -1)。由此可以求出点P关于一次函数对称点的坐标B。

因为点B与点P在一次函数上的横坐标相等，即xB = xP，因此xB = 2；根据对称点的纵坐标公式可以得到yB = 2×(-2×2 + 3) - 5 = -5。因此，点P关于该一次函数的对称点为B(2, -5)。

Answer 3

要求一个点关于一次函数对称点的坐标，可以按照以下步骤进行：
1. 假设给定的点为 (x, y)。
2. 使用函数的表达式，例如 y = ax + b，其中 a 和 b 是一次函数的参数。
3. 计算原始点关于一次函数的对称点的 x 坐标。对称的概念意味着对于 x 轴上任意一点 x1，其对称点的 x 坐标为 x2，满足 x2 = 2 * x1 - x。
4. 将计算得到的对称点的 x 坐标带入函数表达式中，求出对称点的 y 坐标。
5. 对称点的坐标为 (x2, y2)。
举个例子，假设给定点为 (2, 3)，并且函数表达式为 y = 2x + 1。按照上述步骤进行计算：
1. 原始点坐标：(2, 3)。
2. 函数表达式：y = 2x + 1。
3. 对称点的 x 坐标：x2 = 2 * 2 - 2 = 2。
4. 对称点的 y 坐标：y2 = 2 * 2 + 1 = 5。
5. 对称点的坐标为 (2, 5)。
因此，点 (2, 3) 关于一次函数 y = 2x + 1 的对称点为 (2, 5)。