Question

已知f(x)是二次函数，若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,试求f(x)的表达式

同上。。。刚才打错了。。。要有过程。。。

Answer 1

f(x)=ax^2+bx+c
f(0)=0+0+c=0
所以f(x)=ax^2+bx
f(x+1)=a(x+1)^2+b(x+1)
=ax^2+(2a+b)x++(a+b)
=f(x)+x+1
=ax^2+(b+1)x+1
对应项系数相等
所以2a+b=b+1
a+b=1
所以a=1/2,b=1/2
f(x)=(1/2)x^2+(1/2)x

Answer 2

f(x)=ax^2+bx+c
f(0)=c=0

f(x)=ax^2+bx
f(x+1)=a(x+1)^2+b(x+1)
=f(x)+x+1=(ax^2+bx)+x+1
ax^2+2ax+a+bx+b=ax^2+bx+x+1
2ax+a+b=x+1
对应项系数相等
2a=1,a+b=1
所以a=b=1/2

f(x)=(1/2)x^2+(1/2)x

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因为f(x+1)=f(x)+x+1,所以f(x+1)-f(x)=x+1
从而,
f(1)-f(0)=1
f(2)-f(1)=2
f(3)-f(2)=3
.......
f(x-1)-f(x-2)=x-1
f(x)-f(x-1)=x
将这上面的x个式子相加得:
f(x)-f(0)=1+2+3+...+x=x(x+1)/2
所以,f(x)=f(0)+x(x+1)/2=x(x+1)/2为所求
回答完毕......