Question

为什么二重积分要求dx和dy都＞0。书上只说dσ表示面积，它肯定＞0。但是当dx和dy都＜0，也可

为什么二重积分要求dx和dy都＞0。书上只说dσ表示面积，它肯定＞0。但是当dx和dy都＜0，也可保证dσ＞0啊。。。这是为什么呢？

Answer 1

在不定积分中，积分增量dx确实可正可负，但是一旦确定了积分上下限也就是定积分中，dx的正负也就被积分路径确定了，举例如下：

如果明白了上述基本原理，也就可以理解二重积分中dx, dy的正负了。我们在根据积分区间确定积分上下限时，默认是x从左到右，y从下往上的顺序，这就决定了dx,dy都是正的。
当然，你也可以反着来，将积分上下限写反，此时dx, dy也就是小于零的了。

追问

不是的，二重积分当中，自变量的增量必须是正的。。。

追答

你看明白上面的回答了么？二重积分中自变量的增量为正的根本原因在于你是按照从左往右，从下往上的顺序写出积分范围，这自然决定了增量为正。但是，你完全可以按照相反的顺序写积分范围，此时就是负的了。只不过，我们习惯的顺序都是从小到大。

你看一下图片中定积分的例子，dx的正负取决于积分路径，也就是积分上下限

追问

老师说，dx和dy都必须是正的。我并不懂

追答

dx, dy的正负是建立在一定积分路径的基础上的，而课本上默认的积分路径是从小到大，所以增量才是正的。

追问

我知道路径是从小到大，但是老师说，也必须是从小到大。。。

追答

从几何意义上来说确实是必须从小到大，因为面积的两个边长必须是正数，也就要求dx, dy为正。但是如你所说，如果dx, dy都是负的，微元面积依然为正，从等式上来说，依然是成立的；但是相应的，积分范围要反着写。

追问

我知道积分范围变了。。。现在理解了。谢谢你。。。