Question

设数列｛an｝的前n项和为Sn，且a1=a2=1，｛nSn+（n+2）an｝为等差数列，求an

Answer 1

解析本题
｛nSn+（n+2）an｝为等差数列，该数列的首项为4，第二项为8
则nSn+（n+2）an=4n
则Sn=4-(n+2)/nan=4-an-2an/n
则S(n+1)=4-a(n+1)-2a(n+1)/(n+1)
两式相减
得a(n+1)=an-a(n+1)+2an/n-2a(n+1)/(n+1)
即[2+2/(n+1)]a(n+1)=(1+2/n)an
即(2n+4)/(n+1)a(n+1)=((n+2)/n)an
即a(n+1)=(n+1)/2nan
由累乘法得
an=(n+1)/2^n。

Answer 2

因为这里书写不便，故将我的答案做成图像贴于下方，谨供楼主参考。

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Answer 3

｛nSn+（n+2）an｝为等差数列得其首项为S1+（1+2）a1=4，公差d为2S2+（2+2）a2-4=4
故可得nSn+（n+2）an=4n，Sn=4-an（n+2）/n
an=4-an（n+2）/n-（4-a(n-1)（n+1）/（n-1））
an+an（n+2）/n=a(n-1)（n+1）/（n-1）
an/a（n-1）=（（n+1）/（n-1））/（（2n+2）/n）=n/2（n-1）
裂项相乘法可得an/a1=n/2^（n-1），an=n/2^（n-1）