Question

如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD=15,AC平分∠BAD,AC与BD相交于O,

如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD=15,AC平分∠BAD,AC与BD相交于O,将△ABD绕点D按顺时针方向旋转，得到△EFD，点A的对应点为点E，点B的对应点为F.
（1）求证：四边形ABCD是菱形。
（2）若∠BAD=30°，DE边与AB边交于点M，当点F恰好落在AC上时，求证：DM=EM；

Answer 1

（1）证明：

∵AB//CD，AB=CD，

∴四边形ABCD是平行四边形（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），

∵AC平分∠BAD，

∴四边形ABCD是菱形（对角线平分对角的平行四边形是菱形）。

（2）证明：

连接AE，

∵四边形ABCD是菱形，

∴OB=OD=1/2BD，AC⊥BD，

∵△EFD是△ABD旋转所得，

∴ED=AD，FD=BD，

∴OD=1/2DF，

∴∠OFD=30°，则∠BDF=60°，

即旋转角α=60°，

∴∠ADE=60°，

∵AD=ED，

∴△ADE是等边三角形，

∴∠DAE=60°，

∵∠BAD=30°，

∴AB平分∠DAE，

∴DM=EM（三线合一）.