Question

高数。如图。这几个积分怎么求？

Answer 1

曲面上侧即抛物面 z = x^2 + y^2 内侧。补充平面:
∑1 : x = 0, 取前侧，则 x = 0， dx = 0；
∑2 : y = 0, 取右侧，则 y = 0， dy = 0;
∑3 : z = 1, 取下侧，则 z = 1， dz = 0.
与 ∑ ： z = x^2+y^2 内侧形成封闭立体 Ω， 则
I = ∫∫<∑> = ∯<∑+∑1 +∑2+∑3> - ∫∫<∑1> - ∫∫<∑2> - ∫∫<∑3>
前者用高斯公式，得
I = -∫∫∫<Ω>3dv - 0 - 0 + ∫∫<Dxy>dxdy
= -3∫<0, 1>dz∫<0, π/2>dt∫<0, z>rdr + π/4
= -3π/4∫<0, 1>z^2dz + π/4 = 0