Question

如何理解:函数f(x)在[a,b]上可导，指f(x)在开区间（a,b）内处处可导

如何理解:函数f(x)在[a,b]上可导，指f(x)在开区间（a,b）内处处可导理解不了啊

Answer 1

当f（a）f（b）<0，存在t∈（a，b），使得f（t）=0 对任何t∈（a,b），有limx→t[f(x)-f(t)]=0 以上这两个结论，只需要f（x）在[a,b]上连续（区间上连续了，当然就有定义了）就行了，无需在（a，b）上可导。但是当f（a）=f（b），存在t∈（a，b），使得f‘（t）=0 存在t∈（a，b），使得f（b）-f（a）=f’（t）（b-a）这两个结论就必须要f（x）在（a，b）上可导的条件，以防止出现不可导的点。 比方说f（x）=|x|（x∈[-1,1]），可知f（x）在[-1,1]上连续，f（-1）=f（1），但是在区间（-1,1）上不存在一个t能使得f'（t）=0，这是因为f（x）在这个区间内有个不可导的点x=0的缘故。所以对于“f（a）=f（b），存在t∈（a，b），使得f‘（t）=0 ”的结论，就必须要f（x）在（a，b）上可导了。对于“存在t∈（a，b），使得f（b）-f（a）=f’（t）（b-a） ”这个结论，也可以以上面的例子反驳，所以也必须要f（x）在（a，b）上可导