Question

高等数学题目 谢谢。

Answer 1

将 x = 0 代入原式 得 f'(0) = -1.
对 t 积分， x 相当于常量。令 u = xt， 则 t = u/x, dt = du/x，
原式化为 f'(x) + 3∫<0, x>f'(t)dt + 2x∫<0, x>f'(u)du/x + e^(-x) = 0
f'(x) + 3∫<0, x>f'(t)dt + 2∫<0, x>f'(u)du + e^(-x) = 0
定积分与积分变量无关， 将 u 换为 t， 得
f'(x) + 5∫<0, x>f'(t)dt + e^(-x) = 0
对 x 求导，得 f''(x) + 5f'(x) - e^(-x) = 0
即 y'' + 5y' = e^(-x), 特征方程 r^2 + 5r = 0, r = 0, -5,
故设特解 y = Ce^(-x), 代入得 C = -1/4, 特解 y = -(1/4)e^(-x).
通解 y = f(x) = A + Be^(-5x) - (1/4)e^(-x)
f(0) = 1 代入得 A + B - 1/4 = 1,
f'(x) = -5Be^(-5x) + (1/4)e^(-x)
f'(0) = -1 代入得 -5B + 1/4 = -1,
联立解得 B = 1/4， A= 1，
f(x) = 1 + (1/4)e^(-5x) - (1/4)e^(-x).