Question

高中数学中必修一的函数，赋值法是如何运用的？

Answer 1

先看两个例题
例一：已知二次函数f(x)对任意x、y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时,f(x)<0，f(1)=-2
(1)判断函数f(x)的奇偶数。
(2)当x∈[-3,3]时，函数f(x)是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，请说明理由。

解：令 x=y=0
得到f（0）=0
f(0)=f(x + -x)= f(x)+ f(-x) 奇函数
设 x1<x2 x2-x1=m>0
f(x2)=f(x1+m)=f(x1)+f(m)
因为f（m）>0 f(m)<0
f(x2)<f(x1) 递减
递减函数 最大值 是 f（-3） 最小值 f（3）
f（-1）=-f（1）= 2
f（-2）= 2f（-1）=4
f（-3）=f（-2）+f（-1）=6
同理 f（3）= -6

例二：f(x)满足对于任意实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x＜0时f(x)＞0。
1.判定f(x)的奇偶性？
2.x∈【-2006，2006】时f(x)是否有最值？（是多少？）
答案：1 令x=y=0 代入得
f(0+0)=f(0)+f(0) 所以f(0)=0
令x=x,y=-x代入得
f(0)=f(x)+f(-x)=0
所以-f(x)=f(-x)即f(x)为奇函数
2 设x1<x2
f(x1)-f(x2)=f[(x1-x2)+x2]-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2)
因为x1-x2<0 所以f(x1-x2)>0 既f(x1)-f(x2)>0
所以f(x)为减函数 故f(x)在【-2006，2006】上为减函数
所以f(x)MAX=f(-2006),f(x)MIN=f(2006)

赋值法一般就是令x.y为某值，代入所给的函数关系，也可以是抽象函数，一步步推导出想要的结果。
重要的是观察结果和已知，正过来反过来做做（分析法和综合法一起试试，先找思路）。
根据已知函数看看，能不能靠带入特殊值得出想要的结果（可以是要求的结果，也可以是求出来这东西就能简化问题进而得出答案）