Question

三重积分积分区域关于坐标轴不对称，被积函数为什么会化简

Answer 1

当空间区域Ω关于坐标面（如：空间区域Ω关于yoz 坐标面)对称，被积函数关于另一个字母（如：被积函数关于z为奇函数）为奇函数，则三重积分为0。类似，还有两种情况。以这个题为例，第一个空间区域Ω关于yoz坐标面对称，第二个条件是被积函数xz是关于x的奇函数，所以三重积分∫∫∫xzdv=0；空间区域Ω关于xoz坐标面对称，被积函数xy是关于y的奇函数，所以三重积分∫∫∫xydv=0；空间区域Ω关于xoz坐标面对称，被积函数yz是关于y的奇函数，所以三重积分∫∫∫yzdv=0；所以，三重积分2∫∫∫(xy+yz+xz)dv=0

追问

本题的被积函数是x+y+z 但是图像是一个正方体左下角的一个点在原点上，是三重积分。为什么最后答案化简成了三倍的z