Question

求一道幂级数题

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Answer 1

解：∵e^x=∑x^n/(n!)，n=0,1,2，……,∞，x∈R，∴(e^x-1)/x=∑[x^(n-1)]/(n!)，n=1,2，……,∞。
∴f(x)=d[(e^x-1)/x]/dx=∑(n-1)[x^(n-2)]/[(n!)【n=2,3，……,∞】=∑n[x^(n-1)]/[(n+1)!，n=1,2，……,∞。
又，d[(e^x-1)/x]/dx=[(x-1)e^x+1]/x²，∴∑n[x^(n-1)]/[(n+1)!=[(x-1)e^x+1]/x²。
令x=1，∴∑n/[(n+1)!=1。
供参考。