高数中微分方程的题，谢谢啦？
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高数中微分方程的题，过程见上图。
这道 高数题，属于常系数线性微分方程题。
先求对应的齐次方程的通解，再求非齐次的一个特解。
具体微分方程的题的解答过程，看图。
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上海华然企业咨询
2024-10-28 广告
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对x求导得
f'(x)+2f(x)=2x
即f'(x)=-2f(x)+2x
先求齐次方程f'(x)=-2f(x)
df(x)/f(x)=-2dx
ln|f(x)|=-2x+C
即f(x)=C e^(-2x)
由常数变易法，令f(x)=C(x) e^(-2x)
则f'(x)=C'(x) e^(-2x) - 2C(x) e^(-2x)
代入原方程得
C'(x)=2x e^(2x)
C(x)=∫2x e^(2x) dx
=∫xd[e^(2x)]
=x e^(2x)-∫e^(2x) dx
=x e^(2x)-½ e^(2x) +C
故原方程的通解为
f(x)=x - ½ +C e^(-2x)
将x=0代入题目中的方程，得f(0)=0
故f(0)=-½ +C=0，C=½
故f(x)=x - ½ +½ e^(-2x)
f'(x)+2f(x)=2x
即f'(x)=-2f(x)+2x
先求齐次方程f'(x)=-2f(x)
df(x)/f(x)=-2dx
ln|f(x)|=-2x+C
即f(x)=C e^(-2x)
由常数变易法，令f(x)=C(x) e^(-2x)
则f'(x)=C'(x) e^(-2x) - 2C(x) e^(-2x)
代入原方程得
C'(x)=2x e^(2x)
C(x)=∫2x e^(2x) dx
=∫xd[e^(2x)]
=x e^(2x)-∫e^(2x) dx
=x e^(2x)-½ e^(2x) +C
故原方程的通解为
f(x)=x - ½ +C e^(-2x)
将x=0代入题目中的方程，得f(0)=0
故f(0)=-½ +C=0，C=½
故f(x)=x - ½ +½ e^(-2x)
追问
别在这里瞎回答好吗，有意思吗
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y''-2y'+3y=3x
The aux. equation
p^2-2p+3=0
p=1±√2i
let
yg= e^x .[ Acos(√2x) + Bsin(√2x) ]
yp = Cx+D
yp'=C
yp''=0
yp''-2yp'+3yp=3x
-2C +3(Cx+D) =3x
3Cx +(-2C+3D) = 3x
3C =3 and -2C+3D =0
C=1 and D= 2/3
通解
y=yg+yp= e^(x) .[ Acos(√2x) + Bsin(√2x) ] + x +2/3
The aux. equation
p^2-2p+3=0
p=1±√2i
let
yg= e^x .[ Acos(√2x) + Bsin(√2x) ]
yp = Cx+D
yp'=C
yp''=0
yp''-2yp'+3yp=3x
-2C +3(Cx+D) =3x
3Cx +(-2C+3D) = 3x
3C =3 and -2C+3D =0
C=1 and D= 2/3
通解
y=yg+yp= e^(x) .[ Acos(√2x) + Bsin(√2x) ] + x +2/3
追问
你好，请问为什么1变成了x呢
追答
一对共轭复根：r1=α+iβ,r2=α-iβ：y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)
α =1，β = √2
yg= e^(x) .[ Acos(√2x) + Bsin(√2x) ]
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