Question

函数连续，0点导数大于0，函数在这点邻域内为什么不单调递增?

抱歉，不是数学专业的，看了很多网上的答案，都说不一定单调。但是，是不是这样，一个连续函数在一个区间内不单调，但是总是可以在这个区间的子区间里取到单调的区间呢？很困惑，求解。

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Answer 1

你所说的“因为如果f(x)在（0，δ’）上不单调增加，必有f(x)在（0，δ’）上f(x)≤f(0)”，这句话是不对的。诚然，单调增加可以保证没有f(x)≤f(0)，但要保证没有f(x)≤f(0)，并不是非要在邻域上单调递增不可，单调递增只是保证f(x)>f(0)的充分条件而不是必要条件。无穷震荡的那种增加也可以保证没有f(x)≤f(0)。为了保证f(x)>f(0),就要求f(x)在邻域内单调增加，太苛刻了！听着很像绕口令对不对？但我认为你会有这个想法，是基于一个可以否定的前提的，那就是f(x)的导函数在x=0处连续。因为想要单调递增，导数大于0的趋势必须保持连续的一小段，而不能仅仅在一个孤立的点上大于0就行了。如果f(x)的导数在x=0连续，那么由极限保号性，必有邻域内f’(x)恒正，那么由拉格朗日中值定理，当然就存在邻域单调增，A是正确的。但题目没说f(x)的导数在x=0处连续，所以在x=0这一点导数情况和它邻域内的导数情况没什么关系。
给个反例，教科书上的
f(x)=x+2x²sin(1/x) (x≠0)
=0 (x=0)
你可以验证它在x=0处可导且导数等于1。但它的导数在x=0处是不连续的，不能把导数大于0的趋势保持连续一小段。所以无论你邻域取多么小，域内总会有无穷多的震荡，不能保证单调递增，选项A错误。但它确实在（0，1/2）内所有f(x)>f(0)=0,选项C正确。

Answer 2

小兄弟，我也考研刚看了这题，我的理解是：就拿那个答案例题来说，在任何（0，δ）内，你会发现那个震荡函数在0处取得值是最小的，网上可以搜到这个函数图像，很清晰。但是你无论取多么小的邻域，在这个临域内它总是震荡的（这句话很重要，理解了你就知道为什么A不对了），也就是说你不可能找到一个邻域，这个函数是单调递增的，你总能找到它单调递减的情况，故A是错的，单调递减并不是说会有f（x）<f（0）的情况，因为它的总体情况是递增的，只不过是震荡递增，不知道这么讲你能否理解，你的理解我懂，因为你的意思是说这个函数必须要先增，不然肯定会有f（x）<f（0），我个人认为也是这样，但是你却无法找到一个邻域会使得这个函数是单调递增的，所以这也是A错的地方，你要弄清楚A问的是什么

Answer 3

你好，因为震荡函数在无限小的领域可以无限波动

追问

我也知道震荡函数，但是我的证明错在哪了呢。想不到。震荡函数在靠近0的那个极小的单调的邻域内也应该先增，如果不增，就不能保证我说的①是成立的了。

Answer 4

因为没说函数连续可导，所以fx导函数不一定连续。

Answer 5

感谢你的提问，我也遇到了这个问题。