Question

已知:关于x的方程(k-1)x²-2kx+k+2=0有实数根。

（1）求k的取值范围。
（2）若x1，x2是方程(k-1)x²-2kx+k+2=0的两个实数根（x1≠x2），且满足(k-1)x1²+2kx2+k+2=4x1x2，求k的值。

Answer 1

答：
1）关于x的方程(k-1)x²-2kx+k+2=0有实数根
k-1=0即k=1时：0-2x+1+2=0，x=3/2，满足题意
k≠1时：判别式=(-2k)²-4(k-1)(k+2)>=0
k²>=k²+k-2
k-2<=0
k<=2
综上所述，k<=2

2）
若x1，x2是方程(k-1)x²-2kx+k+2=0的两个实数根（x1≠x2）
且满足(k-1)x1²+2kx2+k+2=4x1x2
因为：(k-1)x1²-2kx1+k+2=0
所以：上两式相减有2k(x1+x2)=4x1*x2
k(x1+x2)=2x1*x2
根据韦达定理有：x1+x2=2k/(k-1)，x1*x2=(k+2)/(k-1)
所以：
2k²/(k-1)=2(k+2)/(k-1)
k²=k+2
k²-k-2=0
(k-2)(k+1)=0
k=-1或者k=2
因为：x1≠x2
所以：k≠2
综上所述，k=-1