Question

这个积分是怎么求？

怎么解到第二部的详细过程 我套分部积分的公式套不上…求详细步骤 谢谢

Answer 1

∫[x/√(1+x²)]d(e^arctanx)

令u=x/√(1+x²)，v=e^arctanx，即原式=∫udv

=u·v-∫vdu

=[x·e^(arctanx)/√(1+x²)]-∫(e^arctanx)d[x/√(1+x²)]…………………………①

那么，这里关键的就是求d[x/√(1+x²)]，也就相当于求[x/√(1+x²)]'问题了

这里的公式还记得不？(u/v)'=(u'v-uv')/v²

所以，[x/√(1+x²)]'={√(1+x²)-x·(1/2)·[1/√(1+x²)]·2x}/(1+x²)

={√(1+x²)-[x²/√(1+x²)]}/(1+x²)

=[(1+x²)-x²]/[(1+x²)·√(1+x²)]

=1/[(1+x²)·√(1+x²)]

=1/[(1+x²)^(3/2)]——代入①就得到等式右边了！！！