Question

已知:如图，Rt三角形ABC 中，角ACB=90度，D为AB中点，DE,DF分别交AC于E,交BC

已知:如图，Rt三角形ABC 中，角ACB=90度，D为AB中点，DE,DF分别交AC于E,交BC于F,且DE垂直于DF.
（1）如果CA=CB,求证:AE^2+BF^2=EF^2
（2）若CA小于CB,（1）中的结论是否成立？

Answer 1

延长FD至G，使DG=DF，连接AG

∵AD=BD，∠ADG=∠BDF

∴△ADG≌BDF

∴AG=BF，∠DAG=∠B

∴∠EAG=∠EAD+∠DAG=∠EAD+∠B=90°

又∵ED⊥DF，FD=GD

∴EG=EF

∴EG²=AE²+AG²

即EF²=AE²+BF²

∴当∠ACB=90°时，不论AC是否等于BC，结论均成立

Answer 2

（1）证明：过点A作AM∥BC，交FD延长线于点M，
连接EM．
∵AM∥BC，
∴∠MAE=∠ACB=90°，∠MAD=∠B．
∵AD=BD，∠ADM=∠BDF，
∴△ADM≌△BDF．
∴AM=BF，MD=DF．
又DE⊥DF，∴EF=EM．
∴AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF2．

（2）成立．
证明：延长FD至M，使DM=DF，连接AM、EM．
∵AD=BD，∠ADM=∠BDF，
∴△ADM≌△BDF．
∴AM=BF，∠MAD=∠B．
∴AM∥BC．∴∠MAE=∠ACB=90°．
又DE⊥DF，MD=FD，∴EF=EM．
∴AE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF2