Question

组合数学——不定方程问题？

问题如下图

Answer 1

记a=x1+x2, b=x3+x4, 则a,b<=12 且 a+b=15
所以a,b共有10种组合
(3,12), (4,11), (5,10), (6,9), (7,8), (8,7), (9,6), (10,5), (11,4), (12,3)
对于x1, x2
a=3时，(x1, x2)=(1,2)或(2,1), 有2种组合
a=4时，(x1, x2)=(1,3)或(2,2)或(3,1), 有3种组合
a=5时，(x1, x2)=(1,4)或(2,3)或(3,2)或(4,1), 有4种组合
a=6时，(x1, x2)有5种组合
a=7时，(x1, x2)有6种组合
a=8时，注意到x1,x2<=6,所以x1,x2>1。令y1=x1-1, y2=x2-1, 于是y1+y2=6, 仿效a=6的情形，(y1,y2)有5种组合，所以(x1, x2)有5种组合
a=9时，注意到x1,x2<=6,所以x1,x2>2。令y1=x1-2, y2=x2-2, 于是y1+y2=5, 仿效a=5的情形，(y1,y2)有4种组合，所以(x1, x2)有4种组合
a=10时，(x1, x2)有3种组合
a=11时，(x1, x2)有2种组合
a=12时，(x1, x2)=(6,6), 只有1种组合。

b=n时对应的组合数与a=n时应当相同
所以总的组合数应为
=2×1
+3×2
+4×3
+5×4
+6×5
+5×6
+4×5
+3×4
+2×3
+1×2
=140(种)

Answer 2

你好。
不知道你现在什么年级，给你一种通俗的解法。
你先别管x1，x2，x3，x4，设四个数为A,B,C,D,不管次序，要求和为15，且均小于6。找出他们可能如下：
6 6 2 1
6 5 3 1
6 5 2 2
6 4 3 2
6 4 4 1
6 3 3 3
5 5 4 1
5 5 3 2
5 4 4 2
5 4 3 3
4 4 4 3
(注意，我这种排列是根据从左往右依次减小(或相等)找的，很容易列出来)
对以上结果进行分类，发现：
3，1型(三个数相同，一个数不同)(以下同)：2种
2，1，1型：7种
1，1，1，1型：2种
然后根据排列组合的性质：
3，1型：C(4,1)×2=8个
2，1，1型：A(4,2)×7=84个
1，1，1，1型：A(4,4)×2=48个
加起来：8+84+48=140个

纯手打不易，望采纳

追问

您好，感谢您的回答。方法我仔细考虑过了，很正确。但是有一点想请教，如何才能确保列举过程中不会出现遗漏问题？个人在实际操作中经常遗漏。

追答

你好，在枚举的时候建议遵循一定的规律和方法，比如你问的这道题，我希望四个数中靠左边的尽可能大，由左往右依次递减(可相同)，这样从大到小列出来，直到没有新的可能出现，就可以保证没有漏掉的情况。你可以在平时做题的时候多加注意，久而久之就会养成严谨的习惯。

祝你学习进步

Answer 3

首先确认是正整数，且最大数不超过6。
则先不考虑x1、x2、x3、x4的大小，首先确认对应解的数字
通过穷举法可知，有以下解：
第一组：6、6、2、1，对应上4个未知数的话，就有：4！/2=12种
（除以2是因为有两个相同数字）
第二组：6、5、2、2，同理有：4！/2=12种
第三组：6、5、3、1，同理有：4！=24种
第四组：6、4、4、1，同理有：4！/2=12种
第五组：6、4、3、2，同理有：4！=24种
第六组：6、3、3、3，同理有：4！/3！=4种
第七组：5、5、4、1，同理有：4！/2=12种
第八组：5、5、3、2，同理有：4！/2=12种
第九组：5、4、3、3，同理有：4!/2=12种
第十组：5、4、4、2，同理有：4！/2=12种
第十一组：4、4、4、3，通理由：4！/3！=4种
综上有：12+12+24++12+24+4+12+12+12+12+4=140种解

Answer 4

4个数（偶数个）之和=奇数15

偶数和=14时，2+6+6+1=15，3组；4+4+6+1=15，3组
偶数和=12时，4+4+4+3=15 三偶一奇：x1或x2或x3或x4=奇3，4组
偶数和=10时，2+4+4+5=15，3组；2+2+6+5=15，3组
奇数和=13时，3+5+5+2=15，3组
奇数和=11时，1+5+5+2=15，3组
奇数和=10时，3+3+3+6=15 一偶三奇：x1或x2或x3或x4=偶6，4组
——自己继续