Question

数学题（求详解）急用

已知椭圆的左右两焦点为F1,F2，点A在椭圆C上，向量AF1*向量F1F2=0,3*向量AF2的模*向量F1A的模=-5*向量AF2*向量F1A，向量F1F2的模为2，过右焦点且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于P,Q两点。（1）求椭圆方程（2）线段OF2上是否存在点M（m，0）。使得向量QP*向量MP=向量PQ*向量MQ？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在说明理由

Answer 1

已知椭圆的左右两焦点为F1,F2，点A在椭圆C上，向量AF1*向量F1F2=0,3*向量AF2的模*向量F1A的模=-5*向量AF2*向量F1A，向量F1F2的模为2，过右焦点且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于P,Q两点。（1）求椭圆方程（2）线段OF2上是否存在点M（m，0）。使得向量QP*向量MP=向量PQ*向量MQ？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在说明理由
(1)解析：∵点A在椭圆C上，向量AF1*向量F1F2=0，3|向量AF2|*|向量F1A|=-5*向量AF2*向量F1A，|向量F1F2|=2
∴向量AF1⊥向量F1F2
Cos<向量AF2,向量F1A>=(向量AF2*向量F1A)/( |向量AF2|*|向量F1A|)=-3/5
∴Cos<向量AF2,向量AF1>=3/5
∴|向量AF1|=3/2，|向量AF2|=5/2
∴c=1,A(-1,3/2)
设椭圆为x^2/a^2+y^2/b^2=1
代入A坐标解得a^2=4,b^2=a^2-1=3
∴椭圆为x^2/4+y^2/3=1
(2)解析：线段OF2上存在点M（m，0）
设过右焦点且与坐标轴不垂直的直线y=kx-k交椭圆于P(x1y1),Q(x2,y2)两点
向量QP=(x1-x2,y1-y2)，向量MP=(x1-m,y1)
向量QP*向量MP=(x1-x2)(x1-m)+(y1-y2)y1
向量PQ=(x2-x1,y2-y1)，向量MQ=(x2-m,y2)
向量PQ*向量MQ=(x2-x1)(x2-m)+(y2-y1)y2
∵向量QP*向量MP=向量PQ*向量MQ
(x1-x2)(x1-m)+(y1-y2)y1=(x2-x1)(x2-m)+(y2-y1)y2
(x1-x2)(x1+x2-2m)+(y1-y2)(y1+y2)=0
(x1^2-x2^2)+(y1^2-y2^2)-2m(x1-x2)=0 *

∴y^2=k^2x^2-2k^2x+k^2 **
代入椭圆得(3+4k^2)x^2-8k^2x+4k^2-12=0
由韦达定理知x1+x2=8k^2/(3+4k^2)，x1x2=(4k^2-12)/(3+4k^2)
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=144(k^2-1)/(3+4k^2)^2
∴x1-x2=12√(k^2-1)/(3+4k^2)
∴x1^2-x2^2=12√(k^2-1)/(3+4k^2)*8k^2/(3+4k^2)=96k^2√(k^2-1)/(3+4k^2)^2
由**式得y1^2-y2^2=k^2(x1^2-x2^2)-2k^2(x1-x2)
代入*式得(x1^2-x2^2)(1+k^2)-2k^2(x1-x2)-2m(x1-x2)=0
∴m=(x1+x2)(1+k^2)/2-k^2=4k^2(1+k^2)/(3+4k^2)-k^2=k^2/(3+4k^2)
设f(x)=x^2/(3+4x^2)
令f’(x)=6x/(3+4x^2)^2=0==>x=0
∴f(x)在x=0处取极小值f(0)=0
当x趋向∞时f(x)趋向1/4
∴线段OF2上存在点M（m，0）,m∈(0,1/4)