Question

设函数f(x)=x(e^x－1)－ax².若当x≥0时，f(x)≥0,求a的取值范围 想要三次求

Answer 1

若当x>=0时f(x)>=0,求a的取值范围
f(x)=x*(e^x-1)-ax^2
所以，f'(x)=e^x-1+x*e^x-2ax=(x+1)e^x-2ax-1
则当x=0时，有：f'(x)=0。且f(0)=0
已知当x≥0时，f(x)≥0
所以，必须满足在x＞0时，f'(x)＞0【因为只有这样才能保证f(x)在x＞0时递增，且f(x)≥f(0)=0】
则：f''(x)=e^x+(x+1)e^x-2a=(x+2)e^x-2a在x＞0时大于等于零
所以，(0+2)*e^0-2a≥0
则，a≤1

Answer 2

因为x>=0，所以设g(x)=e^x-1-ax，求导得g'(x)=e^x-a，明显地
g'(x)是单调增函数。所以g'(x)的最小值为g'(0)=1-a，所以a<=1时，g(x)单调增，因为有
g(0)=0，所以恒有g(x)>=g(0)=0，所以a<=1，符合。
a>1时，令g'(x)=0，得x=lna>ln1=0，为唯一极值点，也为最小值点。g(lna)=a-1-alna=a(1-lna)-1，
a>=e时，g(lna)<0，不符合。
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