Question

已知定义在R上函数f(x)的图象关于点(-3/4,0)对称，且满足f(x)=-f(x+3/2).

且满足f(x)=-f(x+3/2).f(-1)=1.f(0)=-2,则f(1)+f(2)+…+f(2010)的值为

Answer 1

f(x)=-f(x+3/2)
把x换为x+3/2,代入得f(x+3/2)=-f(x+3)
那么知f(x)=f(x+3)
它是周期为3的函数
f(-1)=1=f(2)=f(5)=..
f(0)=-2=f(3)=.......
注意到奇函数关于(0,0)对称,有f(-x)=-f(x)
而此函数关于(-3/4,0)对称,有f(-x-3/2)=-f(x)
而f(x)=-f(x+3/2),得f(-x-3/2)=-f(x)=f(x+3/2)
就是f(t)=f(-t),偶函数
所以得f(-1)=1=f(1)
那么f(1)+f(2)+f(3)+...+f(2008)=669[f(1)+f(2)+f(3)]+f(1)=0+1=1
答案是1