Question

定义在R上的函数的图像关于点(-3/4,0)成中心对称,对任意的实数X都有f(X)=-f(x+3/2

定义在R上的函数的图像关于点(-3/4,0)成中心对称,对任意的实数X都有f(X)=-f(x+3/2),且f(-1)=0,f(0)=-2,则f(1)+f(2)+f(3)+.....+f(2008)的值？
答案：由f(x)=-f(x+3/2)怎样得到的f(x+3)=f(x)
由函数的图像关于点(-3/4,0)成中心对称怎样得到f(x)=-f(-3/2-x)

Answer 1

f(x)=-f(x+3/2)=f[(x+3/2)+3/2]=f(x+3)
因为函数图象关于点（-3/4,0）成中心对称，则
函数上的任一一个点总是可以找到函数上的另一个点与它关于（-3/4,0）关于点（-3/4,0）成中心对称
所以设函数上的点为（x,f(x)）,则与它关于点（-3/4,0）中心对称的点为（t,f(t)）
由中心对称得(x+t)/2=-3/4,f(x)+f(t)=0
所以得f(x)=-f(-3/2-x)

Answer 2

由f(x)=-f(x+3/2)怎样得到的f(x+3)=f(x)?
答:f(x)=-f(x+3/2)而-f(x+3/2)=f[(x+3/2)+3/2]=f(x+3)即f(x+3)=f(x);
由函数的图像关于点(-3/4,0)成中心对称怎样得到f(x)=-f(-3/2-x)?
答:因为函数图象关于点（-3/4,0）成中心对称，可知函数上的任意一个点总是可以找到函数上的另一个点与它关于（-3/4,0）关于点（-3/4,0）成中心对称
点x关于-3/4对称的对称的点为2*(-3/4)-x=-3/2-x;
所以得f(x)=-f(-3/2-x).

Answer 3

f(x)=-f(x+3/2)
那么f(x+3/2)=-f[(x+3/2)+3/2]
f(x)=f(x+3)
函数的图像关于点(-3/4,0)成中心对称
那么点x关于-3/4对称 x关于-3/4对称的点为 x+y=2*(-3/4)=-3/2 y=-3/2-x
所以f(x)=-f(-3/2-x)

Answer 4

第一个：类比得f(x+3/2)=-f(x+3),相信你能得出第一个了吧
第二个：你先画条直线关于…对称。然后设两对称点为(x1,f[x1])(x2,f[x2]),可得(x1+x2)/2=-3/4;f(x1)+f(x2)=0…将f(x1)表示出来,然后x1换成x即可