Question

定义在R上的函数图像关于点(-3/4,0)成中心对称,对任意的实数X都有f(X)+f(x+3/2)=0

且f(-1)=1，f(0)=-2，则f(1)+f(2)+f(3)+……+f(2008)+f(2009)=
我有答案就是看不懂怎么证明它是偶函数，求大神证明下

Answer 1

∵函数图像关于点(-3/4,0)成中心对称
∴f(-3/4+x)=-f(-3/4-x)
将x换成-x+4/3得：
∴f(-x)=-f(-3/2+x) ①
∴f(-3/2+x)=-f(x)
∵f(X)+f(x+3/2)=0
将x换成-3/2+x得
f(-3/2+x)+f(x)=0 ②
由①②得
-f(x)+f(x)=0 即 f(-x)=f(x)
∴f(x)是偶函数

Answer 2

w

Answer 3

解：由于：f(x)关于(-3/4,0)成中心对称
则有：f(-3/4+x)+f(-3/4-x)=0
令x=x+3/4
则：f(x)+f(-3/2-x)=0 -----(1)
由于f(x)=-f(x+3/2)
令x=x+3/2
则：f(x+3/2)=-f[(x+3/2)+3/2]=-f(x)
即：f(x)=f(x+3)
则f(x)周期T=3
又：f(x)+f(x+3/2)=0 ----(2)
则由(1)(2)得：
f(x+3/2)=f(-3/2-x)
即：f(x+3/2)=f[-(x+3/2)]
令x+3/2=x
则：f(x)=f(-x)......故f(x)是偶函数.
则：f(1)=f(-1)=1
f(2)=f(-2)=f(-2+3)=f(1)=1
f(3)=f(0)=-2
则：f(1)+f(2)+f(3)=1+1-2=0
则：f(1)+f(2)+...+f(2009)
=669[f(1)+f(2)+f(3)]+f(2008)+f(2009)
=0+f(1)+f(2)

=2