已知定义在R上的函数f(x)的图像关于点(-3/4,0)中心对称对称,且f(x)=-f(x+3/2),f(-1)=1,f(0)=-2,

则f(1)+f(2)+....+f(2009)的值为多少?... 则f(1)+f(2)+....+f(2009)的值为多少? 展开
伊兰卡
2011-07-28 · TA获得超过6528个赞
知道小有建树答主
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由f(x)=-1/f(x+3/2)
得f(x+3/2)=-1/f(x+3),
所以f(x)=-1/f(x+3/2)=f(x+3)
f(x)为周期为3的周期函数
由f(x)关于点(-3/4,0)中心对称得f(x)=-f(-3/2-x)=1/f(-x)
故f(1)=1/f(-1)=1
由f(-1)=1,f(0)=-2,
故一周期内函数三个值之和为0
f(1)+f(2)+f(3)+……+f(2009)=f(1)+f(2)=2
追问
你木有看清楚我的题目啊。。是f(x)=-f(x+3/2),
追答
因为f(x)=-f(x+3/2)
f(x+3/2)=-f(x+3/2 +3/2)=-f(x+3)
所以f(x)=-f(x+3/2)=f(x+3)
所以3是f(x)的一个周期
因为f(-1)=1,f(0)=-2,那么f(2)=1,f(3)=-2
所以只要求出f(1)即可
因为(-1,f(-1))点关于(-3/4,0)对称点为(-1/2,-f(-1))
f(-1/2)=-f(-1/2+3/2)=-f(1)=-1
得f(1)=1
又∵2009÷3=669......2
所以 f(1)+f(2)+f(3)+……+f(2009)=669[f(1)+f(2)+f(3)]+f(1)+f(2)=2
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