Question

已知ab是圆o的直径,AB为2,C是圆O上异于A、B的一点,P是圆O所在平面上任一点,则(PA+P

B)*PC的最小值为

Answer 1

已知AB是圆O的直径,AB长为2,C为圆O上异于AB的一点,P是圆O所在平面上任一点,
则（向量PA加向量PB）向量PC的最小值是
以O为原点,OA为x轴,建立直角坐标系,设C(cosu,sinu),sinu≠0,P(p,q),则
A(1,0),B(-1,0),PA=(1-p,-q),PB=(-1-p,-q),PC=(cosu-p,sinu-q),
∴向量(PA+PB)PC
=(-2p,-2q)*(cosu-p,sinu-q)
=-2pcosu+2p^2-2qsinu+2q^2
=2(p-cosu/2)^2+2(q-sinu/2)^2-1/2,
当p=cosu/2,q=sinu/2时它取最小值-1/2.