Question

一元二次方程应用题，如何解？步骤，详细过程

Answer 1

列一元二次方程解应用题的一般步骤：“审”、“设”、“列”、“解”、“答”五环节，其中正确找出应用题的等量关系是列一元二次议程应用题的难点所在，我认为可以采取如下方式探寻等量关系。首先要正确熟练地作语言与式子的互化；其次充分运用题目中的所给的条件；再次要善于发现利用间接的，潜在的等量关系；最后对一般应用题，可以利用关键语句、公式、定理等方面寻找相等关系。举例如下：
一、数字问题
解这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式。
例1，一个两数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得新的两位数与原来的两位的乘积为736，求原来的两位数。
等量关系：新的两位数×原来的两位数
解：由题意得：[10x+（5-x）][10（5-x）+x]=736
解得：x1=2，x2=3
即两位数为23或32
二、几何问题
这类问题要结合几何图形的、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要结合知识检验。
例2：已知一直角三角形三边长为三个连续偶数，试求这个三解形三边长及面积。
通常用勾股定理列出方程，求解。
解，设直角三角形三边为n、n+2、n+4（n为偶数），根据题意得 n2+（n+2）2=（n+4）2
解得 ：n=6
∴三边长为6、8、10，面积为24。
三、增长率问题
此类问题中一般有变化前的基础（a），增长率（x），变化的次数（n），变化后的基数（b），这四者之间的关系可用公式
a（1+x）n=b表示 这类问题中等量关系通常由这个公式及由相关的词语“译”出。
例3：某企业去年对m产品的生产投资为2万元，预计今明两件的投资总额为12万元，求该企业这两两年在m产品投资上的平均增长率是多少？
解：设这两个在m产品投资上的平均增长率为x，根据题意得
2（1+x）+2（1+x）2=12
解得：x1=1 x2=4（舍去）
即该企业这两年在m产品上的平均增长率为100%。
四、估测型问题
这类问题要结合生活经验，生产实际情况及合理运算后作出大胆的估测。
例4：读诗词解题[列出方程式，并估算周瑜去世时的年龄]
大江东去浪淘尽，千古风流人物，
而立之年督东吴，英年早逝两位数。
十位恪小个位三，个位平方与寿符。
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
分析：由题意“则立之年督东吴”可估计周瑜年龄就在30-50之间。
解，设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为（x-3）。依题意得
x2=10（x-3）+x
x2-11x+30=0
由题意可知：x-3在3，4之间选择，则x为6或7。
当x=6时，年龄为36，符合“个位平方与寿符”。
当x=7时，年龄为47，不符合题意。
故周瑜去世时年龄为36岁。
五、买卖问题
这类问题要考虑购买物品的数量与价格
例5：小王从店买回一块矩形铁皮，他将矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1m的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个窖为15m3的无盖长方体箱子，且此箱子底面长比多2m，现已知购买这种铁皮每玉米需20元钱。问小王购回这块矩形铁皮花了多少钱？
本题的展开图是矩形，其实质是先求展开图面积。
解：设这种无盖箱子底部宽为xm，则长为（x+2）m，依题意得
x（x+1）×1=15
解得：x1=3，x2=-5（舍去）
面积为：（5+2）（3+2）=35（m2）
做一个这样的箱子要花35×20==700元钱。
六、方案设计问题
这类问题常规根据题中的条件，联想应用相关知识计算，对结果与实际要求，已知法则、定理对照作出判断。
例6：如图有长为24m的篱笆，一面用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。
（1）如果花圃的面积为42m2，求花圃的宽AB的长。
（2）花圃的面积能围成45m2吗？如果能，请求出这时花圃的宽AB的长，若不能，请说明理由。
（3）花圃的面积能围成48m2吗？若不能，请求出这时花圃的宽AB的长；若不能，说明理由。
解：设宽AB=xm，则BC=（24-3x）m，依题意得
（1）x（24-3x）=42。解得x1=4+2 ,x2=4-2
当x=4-2时，BC=24-3（4-2）=12+3 2（不合题意。舍去）
∴AB=（4+2）m
（2）x（24-3x）=45，解得x1=5，x2=3
当x=3时，BC=24-3×3=15＞10（舍去）
∴AB=5m
（3）x（24-3x）=48，解得x1=x2=4
此时BC=24-3x=12＞10，舍去，故不能围成