Question

设n阶矩阵A满足A^2=A.E为n阶单位矩阵。求证R（A）+R（A'-E）<=n

Answer 1

知识点:
1.
ab=0
,
则
r(a)+r(b)
<=
n.
其中a,b分别是
m*n,
n*s
矩阵.
2.
r(a+b)
<=
r(a)+r(b)
证明:
由a^2=a得
a(a-e)=0
所以
r(a)+r(a-e)
<=n.
又
n
=
r(e)
=
r
(a
-
(a-e))
<=
r(a)+r(a-e).
所以
r(a)+r(a-e)
=
n.

Answer 2

对于这个问题而言Sylvester不等式甚至是取等号的。
事实上利用初等变换
R(A)
+
R(A-E)
=
R
[A
0;
0
A-E]
=
R
[A
0;
A
A-E]
=
R
[A
-A;
A
-E]
=
R
[A-A^2
-A;
0
-E]
=
R
[0
0;
0
E]
=
n