Question

A,B是正定矩阵 AB=BA 证明AB也为正定矩阵

Answer 1

实对称矩阵A，B，分别存在实对称正定矩阵C，D，使得A＝C^2，B=D^2

则有C'(AB)C=C^-1(CCDD)C=CDDC=C'D'DC=(DC)'DC=E'E

E＝DC可逆，所以C'(AB)C正定，而AB与它相似，AB也正定。

矩阵正定性的性质：

1、正定矩阵的特征值都是正数。

2、正定矩阵的主元也都是正数。

3、正定矩阵的所有子行列式都是正数。

4、正定矩阵将方阵特征值，主元，行列式融为一体。

扩展资料：

对于n阶实对称矩阵A，下列条件是等价的：

1、A是正定矩阵；

2、A的一切顺序主子式均为正；

3、A的一切主子式均为正；

4、A的特征值均为正；

5、存在实可逆矩阵C，使A=C′C；

6、存在秩为n的m×n实矩阵B，使A=B′B；

7、存在主对角线元素全为正的实三角矩阵R，使A=R′R。

Answer 2

因为
ab=ba
所以
(ab)^t=b^ta^t=ba=ab
所以
ab
是对称矩阵.
由a,b正定,
存在可逆矩阵p,q使
a=p^tp,b=q^tq.
故
ab
=
p^tpq^tq
而
qabq^-1=qp^tpq^t
=
(pq)^t(pq)
正定,
且与ab相似
故
ab
正定.

Answer 3

实对称矩阵A，B，分别存在实对称正定矩阵C，D，使得A＝C^2,B=D^2
则有C'(AB)C=C^-1(CCDD)C=CDDC=C'D'DC=(DC)'DC=E'E
E＝DC可逆，所以C'(AB)C正定，而AB与它相似，AB也正定。