Question

证明三角形任意两边之和大于第三边

Answer 1

三角形三边关系。
A，B两点的距离是线段AB。AC+CB是大于AB的（两点之间线段最短。）
由此可得：三角形的任意两边之和大于第三边。两点之间线段最短是一个公理。又名线段公理。
比如把纸上的两个点重合，把纸折叠起来，那两个点就重合了，距离无限近。
“三角形两边之和大于第三边”为其引申内容，不能使用它来证明“两点之间线段最短”。

Answer 2

证明：
假设构成三角形的三条边分别为：a、b、c，且a、b、c大小任意；
证明：a+b＞c；
因为a、b、c都为正数，所以要使得a+b＞c成立，只需证明（a+b）²＞c²，即：
（a+b）²-c²＞0；
根据余弦定理：cosC=（a²+b²-c²）/2ab=（（a+b）²-c²-2ab）/2ab；
移项得：（a+b）²-c²=2ab（2+cosB）；
对于等式的右边：cosB在角B取值范围内的值为（-1,1）；
所以1＜（2+cosB）＜2；
又因为a、b都是正数；
所以2ab（2+cosB）＞0，即（a+b）²-c²＞0，即a+b＞c；
综上所述，证得：三角形的任意两边之和大于第三边