Question

判别级数的收敛性，并指出是绝对收敛还是条件收敛(-1)^(n+1)[lnn/根号n]

Answer 1

条件收敛!判断其是否为绝对收敛：由于∑(n从1到∞)（根号n+1)-根号n)=根号2-1+根号3-根号2.+根号（n+1）-根号n=根号（n+1）-1.显然是发散的.所以原级数不是绝对收敛!
判断是否条件收敛：先对式子分子有理化：∑(n从1到∞)(-1)^(n+1)/（根号（n+1）+根号n）显然这是一个交错级数,并且通项单调递减趋于零,所以原级数收敛.
综上：条件收敛非绝对收敛!

Answer 2

解：设f(x)=(lnx)/x^2，则f(x)在[1,+∞)非负、单调减少、且连续，
又，∫(1,+∞)(lnx)dx/x^2与级数∑lnn/n^2有相同的敛散性，而∫(1,+∞)(lnx)dx/x^2=-(1+lnx)/x丨(x=1,∞)=1，收敛。
∴级数∑lnn/n^2收敛。供参考。