Question

设函数f(x)=sinπ2x，（Ⅰ）求f（1）+f（2）+…+f（2013）；（...

设函数f(x)=sinπ2x， （Ⅰ）求f（1）+f（2）+…+f（2013）； （Ⅱ）令g(x)=f(2πx)，若任意α，β∈R，恒有g(α)+g(π+β)=2cosα+β2•sinα-β2，求cos5π24•cos37π24的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）=sinπ2x，
∴f（x+4）=sinπ2（x+4）=sin（π2x+2π）=sinπ2x=f（x），
∴f（x）是以4为周期的函数，
∵f（1）=sinπ2=1，f（2）=sinπ=0，f（3）=sin3π2=-1，f（4）=sin2π=0，
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，又2013=4×503+1，
∴f（1）+f（2）+…+f（2013）=f（1）=1；
（Ⅱ）∵g（x）=f（2πx）=sin[π2•（2πx）]=sinx，
∴g（α）+g（π+β）=sinα+sin（π+α）=sinα-sinβ=2cosα+β2•sinα-β2，
∴cos5π24•cos37π24
=sin7π24•cos37π24
=12•2cos11π6+5π42•sin11π6-5π42
=12[g（11π6）+g（π+5π4）]
=12（sin11π6+sin9π4）
=12（-12+22）
=2-14．