Question

怎样证明 方程x的三次方+x-1=0有且仅有一个实根。

Answer 1

①证明该函数在R上单调②用上下定根法确定存在零点。那么即可证函数在R上上有且仅有一个零点。(证明单调性既可用导数证明，也可用定义法证明，上下定根则需先观察出一个值大于0，一个值小于0，又因为该函数在R是连续的，故在这两个值之间必有一个点的值等于零。）证明如下（导数法）：因为f（x）=x∧3+x-1，故f’（x）=3x∧2+1＞0恒成立，因此f（x）在R上单增。又f（0）=-1＜0，而f（1）=1＞0，且f（x）在R上为连续函数，故必存在x∈（0,1），使得f（x）=0，又f（x）在R上单调递增。故f（x）在R上有且仅有一个实根。证毕。

Answer 2

首先，当x趋于正负的时候，x^3+x-1也趋于正无穷，而x=0给出函数值-1<0，所以由介值定理，有一个正实根；
然后，(x^3+x-1)'=3x^2+1>0，所以这是严格递增函数，于是只有一个实根，就是前述的正实根。