高等数学求微分方程的通解

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卜夏兰柴菁
2019-12-10 · TA获得超过3万个赞
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微分方程首先要分清类型,一把钥匙开一把锁。这是常系数非齐次线性方程,解法是
先求常系数齐次线性方程y"+3y'+2y=0的解,这只要解代数方程x^2+3x+2=0,x=-1,-2
齐次线性方程y"+3y'+2y=0的通解为y=c1e^(-x)+c2e^(-2x),
再求微分方程y"+3y'+2y=6(e的x次方)的一个特解,因为e^(-x),e^(-2x)与e的x次方不同,
可设微分方程y"+3y'+2y=6(e的x次方)的一个特解就是y=Ae的x次方,代入y"+3y'+2y=6(e的x次方)得
A+3A+2A=6,A=1,微分方程y"+3y'+2y=6(e的x次方)的一个特解就是y=e的x次方,
所以所求通解为y=c1e^(-x)+c2e^(-2x)+e的x次方.
这题是最简单的常系数非齐次线性方程。
系科仪器
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翠翰学文魁
2020-04-23 · TA获得超过3万个赞
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首先求y"+3y'+2y=0的通解
解特征方程x^2+3x+2=0的两根为-1和-2
所以y"+3y'+2y=0的通解为y=C1*e^(-x)+C2*e^(-2x),其中C1,C2为任意常数
然后求y"+3y'+2y=6e^x的特解
应该说,虽然求微分方程的特解本身是相当困难的事,但一般高等数学的题目都不算很难,一般可以用观察法得到
注意到1+2+3=6,而对于y=e^x的各阶导数y',y‘’都是e^x。可以想到特解就是y=e^x(代进去可以证实)
于是y"+3y'+2y=6e^x的通解为y=e^x+C1*e^(-x)+C2*e^(-2x),其中C1,C2为任意常数
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甫武鞠壁
2020-03-09 · TA获得超过2.9万个赞
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y”+3y’+2y=6e^{x}
不妨令y=P(x)*e^{x}
代入化简可得:
P''+5P'+6P-6=0
引入变换:Q(x)=P(x)-1,得Q''+5Q'+6Q=0
解得:Q(x)=Ae^{-2x}+Be^{-3x}
从而y=P(x)*e^{x}=(Q(x)+1)*e^{x}=Ae^{-x}+Be^{-2x}+e^{x}
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