Question

2道线性代数求对角矩阵的题求解。

如题，搞了半天还是没明白，有哪位高手能帮忙做一下吗？题目请看附件图片，谢谢了。

Answer 1

这两道题是一样的首先你得知道非奇异阵是什么意思 非奇异就是满秩 也就是求出的矩阵各列向量是线性无关的 两道题的第一问本质就是相似变换对角化 所以就是求特征值 完了求特征向量 但是几个特征值对应的特征向量要保证是线性无关 然后把这些特征向量放在一起构成一个矩阵 也就是满秩阵 即所求的非奇异阵第二问本质都是正交变换（也就是合同变换）对角化 与相似变换求特征向量是一样的 只是求完特征向量要把各特征向量“标准正交化” （用施密特公式） 然后得出的相应正交矩阵就是所求关键是要弄明白相似变换和正交变换的区别！即便A是对称阵 题中不要求正交变换也就不必多做一步标准正交化[]

Answer 2

这个题目个人觉得出的不错，对于实对称矩阵的对角化，不是说矩阵P一定要是正交矩阵，非奇异也可以。以第一题为例，先求出特征值：4,4,4,-8。再求解特征向量，对应于特征值4的特征向量p1=(1,-1,0,0)'，p2=(1,0,-1,0)'，p3=(1,0,0-1)'，对应于特征值-8的特征向量p4=(1,1,1,1)'，矩阵P=(p1,p2,p3,p4)，矩阵P是非奇异的，且P逆×A×P=diag(4,4,4,-8)若要求正交矩阵Q，使得Q'AQ是对角矩阵，那么把矩阵P化成正交矩阵即可，只要把p1,p2,p3正交化单位化一下，把p4单位化一下即可，得到q1=(1,-1,0,0)'/√2，q2=(1,1,-2,0)'/√6，q3=(1,1,1,-3)'/√(12)，q4=(1,1,1,1)'/2，矩阵Q=(q1,q2,q3,q4)，则Q是正交矩阵，且Q'AQ=diag(4,4,4,-8)

Answer 3

我搞了半天也没有搞明白啊

Answer 4

A不是对称阵吗？是不是要求的P和Q矩阵相同？？？