Question

f（x）在x0连续，邻域内可导，他的导数在x0是否连续

Answer 1

1.
函数f(x)在x0点的n阶导数存在不能推出在x=x0的邻域内f(x)
n阶可导；
函数f(x)在x0点的n阶导数用d[f(x0),n]来表示，
d[f(x0),n]=limit
[d[f(x),n-1]－d[f(x0),n-1]
)
/
(x-x0)，x->x0]
①
由①可以推出在x=x0的邻域内f(x)的
n-1阶导数存在且连续；
2.
由函数f(x)在x0点的n阶导数存在，不能得到f(x)的n阶导数在x=x0的邻域内其他点是否存在，更不能得到n阶导函数的连续性；
3.
当x趋向于x0时，计算可得f
'(x)的极限为k，不能得到f
'(x0)=k。
例如：分段函数f(x)=kx，x≠0;
f(x)=1，x=0
在x=0,f
'(x)的极限为k;
在x=0,f(x)不连续，故f’(0)不存在。