Question

ln(e^x-1)的不定积分

RT
求详细过程
标题的不定积分可能解不出来
那ln(1-exp(-kx))在0到d范围内的定积分，可以解的 请问怎么解呢？？？

这里k 是常数

Answer 1

两个都是求不出来的，只能求近似值。这是我用计算器算的，都逃不开这个Li2函数。

1

2

那个ln(1-e^(-kx))的积分，也是求不出来的。我是用级数来求得。

因为对于|x-1|<1,  ln(1-x)= -∑x^n/n，n从1到∞

所以ln(1-e^(-kx))= -∑e^(-knx)/n

所以∫(0到d)  ln(1-e^(-kx))dx= -∫(0到d)  [∑e^(-knx)/n] dx= -∑ ∫(0到d)  [e^(-knx)/n] dx

= (1/k) [∑(e^(-kdn)/n^2 -∑(1/n^2)]

上面两项中，因为∑(1/n^2)=π²/6

只要求出第一项就可以了。只要求出∑x^n/n^2,   然后令x=e^(-kd)即可。

但是哥求了一下，这个也是求不出来的，

怎么都躲不开这个Li2级数。

顺便，我令k=1, d=2。随便算了一个，你可以看下效果，根本的不到精确值。躲不开Li2

Answer 2

所给两个积分都要用到特殊函数

其中

称为二重对数函数(多重对数（polylogarithm)的一种)

那ln(1-exp(-kx))积分在x=0处无定义

希望对你有帮助